Зависит от структуры вопроса, который вы задаете. Вопросительные слова могут использоваться со вспомогательными глаголами do, shall, will, would, could, can и многими другими, также вопросы могут формироваться с помощью глагола to be. Например:
Why would you do that? - Зачем тебе это делать?
Who is she? - Кто она?
Where are you going? - Куда ты идешь?
Иногда, если вопрос понятен из контекста, вы можете использовать только вопросительное слово:
- I'm not gonna go to work tomorrow. - Я не пойду на работу завтра.
- Why? - Почему?
- Because I'm sick. - Потому что я заболел.
Примечание: вспомогательный глагол shall не часто употребляется в современном английском языке.

Во многом это будет зависеть от контекста.
Фраза I have nothing построена совершенно верно. В английском языке действительно нечасто употребляется двойное отрицание, нельзя сказать I don't have nothing - это грамматически неверно.
I don't have something - в данном случае (если вы употребляете эту фразу именно в таком виде, а не заменяете something каким-либо существительным) рекомендуется использовать наречие anything, так как something чаще применяется в утвердительных предложениях, а anything в отрицательных и вопросительных.
I have nothing чаще относится к деньгам, то есть "у меня ничего нет, я без гроша".
I don't have anything/something - к вещам, например "у меня нет чего-либо: телефона, ручки, салфетки и т.д."
Эти фразы могут менять свой смысл в зависимости от контекста.

Это зависит от того, есть ли какое-либо продолжение у этого предложения:
I got a message 5 days ago. - Я получил сообщение 5 дней назад. Это завершенное предложение и в продолжении не нуждается.
I got a message 5 days before... - Я получил сообщение за 5 дней до... В данном случае необходимо указать какую-либо точку отсчета. Например:
5 days before Christmas - за 5 дней до Рождества
5 days before my Birthday - за 5 дней до моего Дня Рождения

В формальной речи вы можете использовать следующую формулировку: Please let me know what possible meeting time would be convenient for you. - Пожалуйста, подскажите, какое время проведения встречи будет наиболее удобно для вас.

Необходимо смотреть на контекст, в котором она употребляется. Но, в большинстве случаев, это означает: не иметь никакого отношения к чему-то/кому-либо, не иметь никакой связи с чем-либо/кем-либо. Например: I'm sorry I kept you waiting, but Tessa had nothing to do with it. - Извините, я заставил вас ждать, но Тесса не имеет к этому никакого отношения.
You would think that volcanoes have nothing to do with the weather, but they do. - Вы подумаете, что вулканы не имеет никакой связи с погодой, но, на самом деле, это не так.

Здравствуйте! Эта фраза грамматически корректна, и переводится как: искать и сравнивать цены на отели.
Однако, не представляет собой полное предложение. Вы можете сказать, например: I'm going to search and compare hotel prices, что будет означать: Я собираюсь найти и сравнить цены на отели.

В целом, небоскреб по определению высокое здание, поэтому не уверен, что вам необходимо подобное прилагательное, но если следует выбрать, то правильнее будет звучать tall skyscraper.

Анна, лучше использовать первый вариант: Recently I often wake up with a headache. Так как, когда вы просыпаетесь вы испытываете одну головную боль, а не несколько. Кроме того, в американском английском существительное headache считается исчисляемым, поэтому использование неопределенного артикля "a" допустимо. В британском же варианте предложение будет звучать как:
Recently I often wake up with headache. (без артикля)

В целом слово easy-going имеет положительное значение, так говорит о человеке с легким характером, с которым легко и приятно общаться или вести дела.
В случае с халатностью и безответственностью, я бы посоветовал использовать следующие слова:
Negligent - |ˈneɡlɪdʒənt| - халатный, небрежный
Lax - |læks| - небрежный, неряшливый
Careless - |ˈkerləs| - небрежный, невнимательный

Nothing interests me less than impressing you. - Впечатлить тебя - это последнее, что меня интересует.
То есть в списке всех неинтересных дел у говорящего, произвести впечатление на этого человека интересно ему меньше всех остальных.