Как рекламный слоган данная фраза звучит вполне корректно. В целом, слоганы - это отдельный раздел английского языка. Например, слоган широко известной компании "I'm loving it" совершенно не соответствует нормам грамматики, тем не менее, легко запоминается.

Если есть возможность, укажите, пожалуйста, контекст, в котором вы используете эту фразу.

Значение фразы верное, говорится о поиске и сравнении цен на отели.

Put out - один из фразовых глаголов, который не имеет строгих правил относительно расположения объекта: он может, как разделяться объектом, так и объект может следовать после put out. В грамматических разделах мы часто говорим об этом, когда разбираем фразовые глаголы. Еще один подобным примером может служить take off:
He took his hat off. - Он снял свою шапку.
He took off his hat. - Он снял свою шапку.
Значение не изменилось.
А, скажем, глагол get on, напротив, не может разделяться объектом:
Верно: He got on the bus. - Он сел в автобус.
Неверно: He got the bus on.
Это правило можно только запомнить для каждого отдельно взятого фразового глагола. Также, в этом помогает практика.

Силы общественных норм создают границы сознания и духа, которые делают нас неприспособленными к трудностям. Нас превратили в ходячих, едва передвигающихся, работающих… практически беспроблемных машин. Нас научили, что лучше подчиняться правилам, чем быть. «Спорить? Как смеешь ты спорить!» Но человеческий дух подобен одуванчику, растущему в саду. Мы должны отыскать и лелеять этот маленький корешок, который есть в каждом из нас.

TO MAKE THE WINNING ARGUMENT еще может означать: приводить убедительный (победный) довод

Довольно интересный вопрос. Полагаю, речь идет о книге Gerry Spence "How To Argue and Win Every Time", подобная конструкция является литературным иносказанием автора, и в повседневной речи, скорее всего, применяться не будет. Однако, исходя из контекста, перевести можно следующим образом:
The sole source of our winning arguments has been smothered by parents. - Единственный источник наших способностей побеждать в спорах был уничтожен родителями.
TO MAKE THE WINNING ARGUMENT - побеждать в спорах, выиграть в дебатах.
В обычной речи мы просто скажем: to win an argument или to win arguments

Анна, если вы имеете ввиду сленг, то catfish называют человека, который использует подставной аккаунт в социальных сетях или мессенджерах, выдавая себя за кого-либо другого, чаще всего с целью поиска новых знакомств или романтических отношений.
I was really falling for that gorgeous girl on Facebook, but she turned out to be a catfish. - Я по-настоящему начал влюбляться в ту красивую девушку на Facebook, но она оказалась подставным аккаунтом.

It's a bitch doing something - сленговое выражение, означающее трудно, непросто. В приведенном контексте это означает, что передвигаться в теплой зимней одежде достаточно непросто. Фраза носит достаточно грубый характер. Вы можете заменить ее более формальным вариантом и сказать: it is difficult to move while wearing those kinds of clothes.

Оба варианта допустимы, но я бы порекомендовал использовать предлог at.
I have to pick him up at the airport. - Мне надо встретить его в аэропорту.
I have to drop him off at the airport. - Мне надо отвезти его в аэропорт.
Для носителей английского предлог at в данном случае будет звучать привычнее.

В современном английском языке форма needn't считается устаревшей и вышедшей из употребления. Глагол need образует отрицательную и вопросительную форму, как обычный смысловой глагол, то есть ему необходим для этого вспомогательный глагол do.
Утверждение: You need to go.
Отрицание: You don't need to go.
Вопрос: Do you need to go?

Роман, это скорее литературный прием, нежели правило. Предложение является условным:
Условие: only when we work hard
Основная часть: will we succeed
В основной части изменен порядок слов, чтобы сделать ударение на условие, то есть упорный труд является неотъемлемым атрибутом успеха.
Подобные приемы усиления часто использовались в старом английском, сейчас это не очень распространено и причисляется к, так называемому, языку Шекспира.